BİNOM AÇILIMI, ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)
x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla
ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.
Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.
1 ...........................(x+y)0
1 1 ........................(x+y)1
1 2 1 .....................(x+y)2
1 3 3 1 ..................(x+y)3
1 4 6 4 1 ...............(x+y)4
Sonuçlar :
1. Açılımda n+1 tane terim vardır.
2. Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n’dir. mesela, açılımın bir terimi olan de terimi oluşturan çarpanı ile çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n’ dir.
3. Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x=1 ve y=1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının olduğunu hatırlayınız.
Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.
4. Açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim, dir.
5. açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, ‘dir.
Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.
Kümenin Eleman Sayısı:
s(A)=0............................................ ...............1
s(A)=1............................................ ............1.....1
s(A)=2............................................ .......1.....2.....1
s(A)=3............................................ ..1.....3.....3.....1
s(A)=4..........................................1. ....4.....6.....4.....1
s(A)=5......................................1..... 5.....10....10.....5....1 ...
Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.