Kullanıcı Tag Listesi

BAĞINTI, BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ, ÇEŞİTLERİ, KARTEZYEN ÇARPIM (2) (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR) (a, b) seklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili denir. Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne de olabilir. Mühim olan ne oldukları degil, hangi sırada olduklarıdır. Sıranın önemli olmadıgı ikililere sadece ‘’ikili’’ deriz.

Bu konu 1424 kez görüntülendi 0 yorum aldı ...
Bağıntı, Çeşitleri Ve Özellikleri, Kartezyen Çarpım (2) 1424 Reviews

    Konuyu değerlendir: Bağıntı, Çeşitleri Ve Özellikleri, Kartezyen Çarpım (2)

    5 üzerinden | Toplam: 0 kişi oyladı ve 1424 kez incelendi.

  1. #1
    Emine - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
    Üyelik tarihi
    14.08.08
    Mesajlar
    20.321
    Konular
    10706
    Beğendikleri
    10
    Beğenileri
    134
    Bahsedildi
    1 Mesaj
    Etiketlenmiş
    1 Konu
    Tecrübe Puanı
    100
    @Emine

    Standart Bağıntı, Çeşitleri Ve Özellikleri, Kartezyen Çarpım (2)

    BAĞINTI, BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ, ÇEŞİTLERİ, KARTEZYEN ÇARPIM (2) (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR)



    (a, b) seklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili denir. Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne de olabilir.



    Mühim olan ne oldukları degil, hangi sırada olduklarıdır. Sıranın önemli olmadıgı ikililere sadece ‘’ikili’’ deriz.



    İkilinin birinci sıradaki elemanına birinci bilesen, ikinci sıradaki elemanına ikinci bilesen denir.



    Örnegin,

    (a, b) sıralı ikilisinin birinci bileseni a, ikinci bileseni b’dir.





    Uyarı. Sıralı ikilide (adından da anlasılacagı üzere) sıra önemli oldugundan farklı a ve b elemanları için

    (a, b) ) (b, a)’dır.

    Genel olarak (a,b) = (c, d) olması için a = c ve b = d olmalıdır.

    Tersi de dogrudur!



    Sıralı ikilileri bir nevi, analitik düzlemdeki noktalar olarak düsünebilirsiniz.

    Nasıl ki; A(1, 3) noktası ile B(3, 1) noktası farklı noktalardır, onun gibi yani.



    Aynı nokta olmaları için hem apsisleri hem ordinatları esit olmalıdır. Böyle düsünmeniz kolaylık saglar.



    Bu arada (a, b, c) gibi üçlüler de sıra önemli ise sıralı üçlü adını alırlar.



    Geometride hatırlarsanız benzer bir üçlüden bahsetmistik. a2 + b2 = c2 esitligini saglayan pozitif a, b, c tamsayıları için (a, b, c) üçlülerine Pisagor üçlüleri demistik.



    Bilesen sayısına göre sıralı dörtlü, sıralı besliden, genel olarak sıralı n’liden de bahsedilebilir.





    Örnek 1.

    (x + 2, 8) = (6, 2y) olduguna göre x - y farkı kaçtır?



    Çözüm:

    İki sıralı ikili esit verildigine göre her ikisinin hem ilk bilesenleri hem de ikinci bilesenleri esit olmalıdır.

    (x + 2, 8) = (6, 2y) (x + 2 = 6 ve 8 = 2y)

    oldugundan x = 4 ve y = 3 bulunur.

    O halde bize sorulan x - y = 4 - 3 = 1’dir.





    Örnek 2.

    (x2, |y|) = (4, 5) esitligini saglayan kaç farklı (a,b) sıralı ikilisi yazılabilir?



    Çözüm:

    (x2, |y|) = (4, 5) (x2 = 4 ve |y| = 5) olmalıdır.

    x2 = 4 ise x = 2 veya x = -2’dir.

    |y| = 5 ise y = 5 veya y = -5’tir.

    Bu durumda (2, 5), (2, -5), (-2, 5), (-2, -5) olmak üzere 4 farklı sıralı ikili yazılabilir.





    Kartezyen Çarpım:



    İsminden dolayı, bildigimiz manada bir çarpma yapacagımız aklınıza gelmesin.



    Belki bir çarpma yapılacak ama bu kümeler arasında olacak ve farklı kurallarla yapılacak.



    Nasıl ki iki sayı çarpıldıgında sonuç bir sayı çıkıyordu, iki harf (degisken) çarpıldıgında da sonuç harf çıkıyordu bu sefer de sonuç baska bir küme çıkacak. Bu kümenin elemanları da çarpılan kümelerin elemanlarından olusturulmus sıralı ikililer olacak.



    Tam Karsılıgı Söyle:

    A ve B bos olmayan iki farklı iki küme olsun. Birinci bileseni A kümesinin elemanlarından, ikinci bileseni de B kümesinin elemanlarından olacak sekilde elde edilebilecek tüm sıralı ikililerin olusturdugu kümeye A kartezyen B kümesi denir.



    Yaptıgımız isleme de A ile B’nin kartezyen çarpımı adı verilir ve A×B seklinde gösterilir. Eger birinci bilesenler B kümesinin elemanlarından, (bilgi yelpazesi.net) ikinci bilesenler de A kümesinin elemanlarından seçilerek sıralı ikililer yapılsaydı, bu sıralı ikililerin olusturdukları kümeye de B×A kümesi denirdi.







    Örnek 3.

    A = {1, 2} ve B = {3, 4, 5} kümeleri için A×B ve B×A kümelerini yazınız.



    Çözüm:

    A×B ve B×A birer küme olduklarından, diger kümeler kaç degisik sekilde gösterilebiliyorlarsa bunlar da o kadar farklı sekilde gösterilebilirler.



    Biz liste yöntemi ve Venn Seması ile gösterecegiz.

    A×B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}

    B×A = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}





    Örnek 4.

    A×B ve B×A kümeleri esit midir, denk midir?



    Çözüm:

    Bir önceki sorudaki A ve B kümelerini ele alalım.

    A×B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}

    B×A = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2)} idi.

    Fakat (1, 3) (3, 1), …, (2, 5) (5, 2) oldugundan A×B % B×A. Bu yüzden bu kümelere esit diyemeyiz.

    Fakat eleman sayıları esit oldugundan A×B ve B×A kümeleri denktirler.

    Sadece burada denk oldular sanmayın. Bu durumu genellestirebiliriz:



    Teorem. s(A) = m ve s(B) = n ise s(A×B) = s(B×A) = m.n’dir.



    Kanıt: A ile B’nin kartezyen çarpımında A kümesinin her elemanı B kümesinin her bir elemanı ile eslenecek. B kümesinde n tane eleman oldugundan A kümesinin her bir elemanı n tane eleman ile eslenecek.

    A kümesinde m tane eleman oldugundan bu olay m kere yasanacak. Çarpmanın temel ilkesine göre toplam m.n tane esleme yani sıralı ikili yapılabilir.

    B ile A’nın kartezyen çarpımında ise bu durum n.m tanedir. m.n = n.m oldugundan

    s(A×B) = s(B×A) = m.n’dir.





    Örnek 5.

    olduguna göre s(A×B) = ?



    Çözüm:

    A kümesinin elemanları 5’ten küçük olan rakamlarmıs.

    O halde A = {0, 1, 2, 3, 4} oldugundan s(A) = 5’tir. B kümesinin elemanları da mutlak degerleri 3’ten küçük olan pozitif tamsayılarmıs.

    B = {1, 2} oldugundan s(B) = 2’dir.

    O halde s(A×B) = s(A).s(B) = 5.2 = 10.





    Örnek 6.

    s(A) + s(B) = 6

    s(A×A) + s(B×A) = 18 olduguna göre s(A) kaçtır?



    Çözüm:

    s(A) = a ve s(B) = b olsun.

    s(A×A) = a2 ve s(B×A) = a.b olur.

    Bize verilen denklemleri tekrar yazarsak;

    a + b = 6 ve a2 + ab = 18 olur.

    a2 + ab = a.(a + b) = a.6 = 18 esitliginden a = s(A) = 3 bulunur.





    Kartezyen Çarpımın Özelikleri:







    Örnek 7.





    Örnek 8.

    A×B = {(2, 3), (2, 4), (5, 3), (5, 4)} ise AB ve AB kümelerini bulunuz.



    Ç0özüm:

    A×B kümesinin elemanları olan sıralı ikililerin birinci bilesenleri A’nın, ikinci bilesenleri ise B’nin elemanlarıdır.





    Örnek 9.

    A = {2, 5} ve B = {3, 4} için A×B ve B×A’nın grafiklerini çiziniz.



    Çözüm:





    Örnek 10.

    A = {2, 5} ve B = [3, 4) için A×B ve B×A’nın grafiklerini çiziniz.



    Çözüm:





    Örnek 11.

    A = [2, 5) ve B = [3, 4) için A×B ve B×A’nın grafiklerini çiziniz.



    Çözüm:





    Örnek 12.

    A = [1, 3] ve B = [2, 5] için A×B kümesinin belirttigi dikdörtgensel bölgenin alanı kaçtır?



    Çözüm:

    Bir önceki soruda yaptıgımız gibi A×B’nin grafigini çizelim.

    Uzun kenarı 3 br ve kısa kenarı 2 br olan bir dikdörtgensel bölge elde ederiz ki alanı 6 br2 olur.





    Örnek 13.

    A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4, 5} kümeleri için A×B kümesinin elemanlarını dısarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı kaçtır?



    Çözüm:

    A×B kümesinin grafigi yukarıda görüldügü üzere 9 noktadan olusmaktadır.

    Bu 9 noktanın (bilgi yelpazesi.net) hiçbirini dısarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı ise bu 9 noktanın olusturdugu bir kenarı 2 br olan karenin kösegeninin yarısıdır.

    Yani .





    Örnek 14.

    A×B = {(2, 3), (3, 3), (4, 3)}

    B×C = {(3, p), (3, q), (3, r)} olduguna göre s(A×C) = ?



    Çözüm:

    A×B = {(2, 3), (3, 3), (4, 3)} esitliginden

    A = {2, 3, 4} ve B = {3}bulunur.

    B×C = {(3, p), (3, q), (3, r)} esitliginden de C = {p, q, r} bulunur.

    Anlayacagınız s(A) = 3, s(B) = 1 ve s(C) = 3’tür.

    s(A×C) = s(A).s(C) = 3.3 = 9 olur.







    BAGINTI



    A ve B bos olmayan iki farklı küme olsun. A×B’nin her bir altkümesine A’dan B’ye bir bagıntı denir.



    Dogal olarak, B×A’nın her bir alt kümesine de B’den A’ya bir bagıntı denir.





    Örnegin;

    A = {1, 2} ve B = {3, 4} olsun.

    O halde

    A×B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} olur.

    Tanıma göre bu dört elemanlı A×B kümesinin her alt kümesine A’dan B’ye bir bagıntı denir.



    Dört elemanlı bir kümenin de 16 tane altkümesi oldugundan A’dan B’ye 16 tane bagıntı yazılabilir.



    Bu bagıntılar asagıdadır:





    Bagıntılar yukarda liste yöntemi ile gösterilmislerdir.



    Biz yine bir tanesini Venn seması ile gösterip ayrıca grafigini de çizelim.



    Örnek 15.

    A = {1, 2, 4, 8} kümesinde tanımlı

    *{(x, y): x.y = 8} bagıntısını liste yöntemi ile gösteriniz.



    Çözüm:

    İlk olarak ‘’A kümesinde tanımlı’’ demek,

    ‘’A×A’nın alt kümesidir’’ demektir. Verilenbagıntısından da anlasılması gereken sudur:

    *öyle bir bagıntıymıs ki; elemanları olan sıralı ikililerin bilesenlerinin çarpımı 8’mis.

    Ayrıca bilesenler A kümesinin elemanları olmak zorundaymıs.

    O halde;

    = {(1, 8), (8, 1), (2, 4), (4, 2)}’dir.







    Örnek 16.

    olduguna göre A’dan A’ya kaç bagıntı yazılabilir?



    Çözüm:

    A = {4, 5, 6, 7, 8} oldugundan s(A) = 5,dolayısıyla s(A×A) = 25’tir.

    Bundan dolayı A’dan A’ya yazılabilecek bagıntı sayısı 225’tir.





    Örnek 17.

    olduguna göre, A’dan B’ye kaç farklı bagıntı yazılabilir?



    Çözüm:

    A = {4, 5, 6, 7, 8} ve B = {-1, 0, 1} oldugundan

    s(A) = 5 ve s(B) = 3’tür. O halde s(A×B) = 15’tir.

    Sonuç olarak A’dan B’ye yazılabilecek bagıntı sayısı 215 olur.





    Örnek 18.

    Yukarıdaki semada gösterilen bagıntısı A×B’nin,

    * bagıntısı ise B×C’nin alt kümesidir.

    Buna göre

    *kümesi kaç elemanlıdır?



    Çözüm:

    Semaya göre;

    * = {(1, 4), (2, 2), (2, 3) ve *= {(2, 2), (2, 3), (4, 1)} oldugundan

    *= {(2,2), (2,3)} olur.

    O halde cevap 2 olmalıdır.







    Örnek 19.

    Asagıda liste yöntemi ile verilen

    *= {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}

    bagıntısının tersini bulunuz.



    Çözüm:

    Yukardaki tanıma göre;

    *-1 = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}

    olur.





    Örnek 20.

    bagıntısının tersinin kendisine esit oldugunu kanıtlayınız.



    Çözüm:

    *= {(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)} ve *-1 = {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)} oldugundan sav dogrudur.

    Bunu y + x = x + y = 3 esitliginden de görebilirdiniz.





    Örnek 21.

    kümesinde

    Tanımlı

    *= {(x, y): x + 2y = 16} bagıntısını ve bu bagıntının tersini liste yöntemi ile yazınız.



    Çözüm:

    x ve y sayıları, *bagıntısının sıralı ikililerinin elemanı ve * bagıntısı da A kümesinde tanımlı oldugundan, x ve y sayılarına sadece A kümesinin elemanlarından degerler verebiliriz.

    Yani her ikisi de dogal sayıdır. 2y sayısı çift oldugundan x sayısı da çift olmalıdır.

    x = 2 için y = 7

    x = 4 için y = 6

    x = 6 için y = 5

    x = 8 için y = 4

    x = 10 için y = 3

    oldugundan;

    *= {(2, 7), (4, 6), (6, 5), (8, 4), (10, 3)}

    ve dolayısıyla;

    *-1 = {(7, 2), (6, 4), (5, 6), (4, 8), (3, 10)}.





    Örnek 22.

    Yukarıdaki semada gösterilen bagıntısı A×B’nin, bagıntısı ise B×C’nin alt kümesidir.

    Buna göre kümesi kaç elemanlıdır?



    Çözüm:

    Semaya göre;

    *= {(1, 4), (2, 2), (2, 3) ve

    *= {(2, 2), (2, 3), (4, 1)} oldugunu hemen yazalım.

    O halde

    *-1 = {(2, 2), (3, 2), (1, 4)} oldugundan

    = {(1, 4)} olur. Böylelikle cevap 1 bulunur.







    Örnek 23.

    A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlı

    *= {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (1, 3)}

    bagıntısı yansıma, simetri, ters-simetri, geçimse özelliklerinden hangisi veya hangilerini saglar?



    Çözüm:

    (1, 1)ve (2, 2) fakat (3, 3)oldugundan * yansıyan degildir.

    Çünkü tanımında her x için bunun saglanması gerektigi söyleniyor.

    Yine aynı sebepten, * simetrik de degildir, çünkü (1, 3) ama (3, 1)

    Diger yandan (1, 2) ve aynı zamanda (2, 1) oldugundan * bagıntı ters-simetrik de degildir.

    Buradan (bilgi yelpazesi.net) çıkardıgımız ders su olmalı:

    Simetrik olmayan bir bagıntıya ters-simetrik, terssimetrik olmayan bir bagıntıya da simetrik demeyecegiz.

    Bir bagıntı, ne simetrik ne ters-simetrik de olabilir, hem simetrik hem ters-simetrik de olabilir.

    Son olarak, (2, 1) ve (1, 3) iken (2, 3) oldugundan * bagıntısı geçisken de degildir.





    Denklik Bagıntısı:



    Yansıma, simetri ve geçisme özelliklerini saglayan bir bagıntıya denklik bagıntısı denir.



    Sıralama Bagıntısı:



    Yansıma, ters simetri ve geçisme özelliklerini saglayan bir bagıntıya sıralama bagıntısı denir.





    Örnek 24.

    A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlı

    *= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}

    bagıntısı yansıma, simetri, ters-simetri, geçimse özelliklerinden hangisi veya hangilerini saglar?



    Çözüm:

    (1, 1) , (2, 2) ve (3, 3) oldugundan * bagıntısı yansıyandır.

    (1, 2) ve aynı zamanda (2, 1) oldugundan bagıntısı simetriktir.

    Aynı sebepten dolayı ters-simetrik degildir.

    Peki, geçisken mi?

    (1, 2) ve (2, 1) iken

    (1,1) oldugundan geçiskendir.

    Dolayısıyla * denklik bagıntısıdır.





    Örnek 25.

    A = {1, 2, 3} olduguna göre A’dan A’ya kaç farklı yansıyan bagıntı yazılabilir?



    Çözüm:

    s(A×A) = 9 oldugunu bir kenara yazalım.

    Bagıntımız yansıyan olacaksa içinde el mecbur (1, 1), (2, 2), (3, 3) olmalıdır.

    Yani bu 9 elemanın 3’ü garanti. Diger 6 elemandan 26 = 64 tane farklı bagıntı yazılabileceginden bunların hepsi diger 3 eleman ile birlestirilir ve bagıntılar yansıyan olur.





    Örnek.

    n elemanlı A kümesinde kaç farklı simetrik bagıntı tanımlanabilir?



    Çözüm:

    Bagıntımız A×A’nın alt kümesi oldugundan önce A×A’nın eleman sayısını bulalım.

    s(A×A) = n.n = n2’dir.

    Bu n2 elemanın n tanesi (a, a) seklindedir, yani bilesenleri esittir, n2 − n tanesinin de bilesenleri farklıdır.

    Hatta, a ile b’yi farklı kabul edersek,

    tanesi (a, b) seklinde, diger

    tanesi

    de (b, a) seklindedir.

    Simetrik bagıntının içinde herhangi bir (a, a) ikilisi sorun teskil etmez ama (a, b) varsa (b, a) da olmak zorunda oldugundan, her bir (a, b) ile (b, a)’yı bir eleman gibi kabul etmeliyiz.

    Biri varsa digeri de olmalı, biri yoksa digeri de olmamalı diye yani.

    O halde,

    elemanlı bu kümenin her alt kümesi bir simetrik bagıntıdır.

    Böyle düsününce cevap

    bulunur.


    Konu Bilgileri       Kaynak: www.azeribalasi.com

          Konu: Bağıntı, Çeşitleri Ve Özellikleri, Kartezyen Çarpım (2)

          Kategori: Matematik

          Konuyu Baslatan: Emine

          Cevaplar: 0

          Görüntüleme: 1424


Etiketler

Yer imleri

Yetkileriniz

  • Konu Acma Yetkiniz Yok
  • Cevap Yazma Yetkiniz Yok
  • Eklenti Yükleme Yetkiniz Yok
  • Mesajinizi Degistirme Yetkiniz Yok
  •  

Giriş

Facebook Baglan Giriş