Binom Açılımı, Özellikleri

[Emine]

BİNOM AÇILIMI, ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)


x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla



ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.

Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.

1 ...........................(x+y)0


1 1 ........................(x+y)1

1 2 1 .....................(x+y)2

1 3 3 1 ..................(x+y)3

1 4 6 4 1 ...............(x+y)4


Sonuçlar :

1. Açılımda n+1 tane terim vardır.


2. Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n’dir. mesela, açılımın bir terimi olan de terimi oluşturan çarpanı ile çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n’ dir.


3. Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x=1 ve y=1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının olduğunu hatırlayınız.

Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.


4. Açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim, dir.


5. açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, ‘dir.

Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.

Kümenin Eleman Sayısı:

s(A)=0............................................ ...............1
s(A)=1............................................ ............1.....1
s(A)=2............................................ .......1.....2.....1
s(A)=3............................................ ..1.....3.....3.....1
s(A)=4..........................................1. ....4.....6.....4.....1
s(A)=5......................................1..... 5.....10....10.....5....1 ...

Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.

[CaucasianEagle]

Ablam matematikte
Kitap yazacam Emine Matematik çözüyor

[Emine]

Örneğin; s(A)=4 ..............1.....4.....6.....4.....1 s(A)=5..........1.....5.....10.....10.....5.....1 Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim. A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım. 0 elemanlı alt kümesi 1 tane 1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane 2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c} 3 tane 3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,....alt kümelerinin
[Linkleri Görebilmek İçin Üye Olmanız Gerekmektedir. Üye Olmak İçin Tıklayın...]
sayısını gösterir. Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim. *6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın satırındaki üçüncü sayı) *5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım: 3 elemanlı..........10..........(s(A)=5’in satırında 4. sayı) 4 elemanlı..........5..........(s(A)=5’in satırında 5. sayı) *7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım: 1.YOL: (21+35+21+7+1)=120 2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?) Binom Açılımı: (a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır. * (a+b)5=? (a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 * (5x-3y)2=? (5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2
Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir.