Matematik Niçin Doğmuştur?

[Aylin's]

Herhangi bir reel sayıya rasyonel yada irrasyoneldir.

OMÇG (Amerikalı matematikçi ve eğitimciler tarafından oluşturulan) 1950’li yıllarda aksiyomları euclidyen geometri için sunmuşlardır.

Uzaklık hakkındaki aksiyomlarında;

Postulat 3(Cetvel postulatı): Bir doğrunun noktaları reel sayılar ile 1-1 tekabül içine aşağıdaki gibi sokulabilir.

i) Her noktaya kesinlikle bir reel sayı karşılık gelir.
ii) Her reel sayıya doğrunun bir noktası karşılık gelir.
iii) İki nokta arasındaki uzaklık bu noktada karşılık gelen sayılar farkının mutlak değeridir.

Reel doğrunun noktalarına tekabül eden sayıların rasyonel veya irrasyonel olmalarına göre noktalar ya rasyonel yada irrasyoneldir.

Reel sayılar bütün rasyonel ve irrasyonel sayılardan ibaret olup matematiğin merkezsel sayı sistemini teşkil eder. Geometri, reel sayıların yani verilen bir uzunluk birimi cinsinden mümkün bütün uzunlukları ölçmek için gerekli bütün sayıların tarifi için bir usul verir. Geometride uzunlukların, alanların veya hacimlerin sonucu bizi reel sayılara götürür.

Bir doğru parçası boyunca sayıların noktalar olarak gösterilişlerini tekrar göz önüne alırsak, ne kadar küçük olursa olsun, herhangi bir doğru parçasının sonsuz sayıda çok rasyonel nokta ihtiva etmesine rağmen rasyonel sayılarla ifade edilemeyen uzunlukları ölçen çok sayıda başka (√2,∏,log2) noktaların da mevcut olduğunu buluruz. Bütün reel sayıları göz önüne alırsak, doğru üzerinde her noktaya tam bir reel sayı ve her reel sayıya doğru üzerinde edilebileceği keyfiyeti bu sayıların tamamlık özelliği olarak bilinir ve matematik analizin bütün gelişmesi bu özelliğine dayanır.

Reel sayılar böylece iki cinstir, rasyonel ve irrasyonel sayılar olmak üzere. Reel sayıların daha yeni olan cebirsel sayılar ve transandant sayılar diye iki kategoriye ayrılması vardır.

Bütün polinom denklemlerin gerçel sayı olarak çözümleri Q’ ya ilave edilecek olursa gerçel sayılar elde edilmelidir. Burada herhangi bir polinom denklemi sağlamayan gerçel sayıların varolduğu gerçeği unutulmamalıdır. Dolayısıyla katsayıları tam sayı olan polinomların gerçel sayılardaki çözümlerine cebirsel sayılar; cebirsel olmayan gerçel sayılara da transandant sayılar adı verilir. transandant sayıların sayısı cebirsel sayılardan fazladır.

Her rasyonel sayının cebirsel bir sayı olduğunu görmek kolaydır. Mesela 5/7 7x-5=0 denklemini gerçekler ve bu denklem polinom denklemidir. Daha genel olarak, herhangi a/b rasyonel sayısı bx-a=0 denklemini sağlar ve dolayısıyla cebirsel bir sayıdır.

Her rasyonel sayı madem ki cebirseldir, bundan her cebirsel olmayan sayıların rasyonel olamadıkları sonucu çıkar, daha basmakalıp ifadeyle her transandant sayı irrasyoneldir.

√2 ve 3√7 cebirseldir. x2-2=0 ve x3-7=0 denklemini sağlarlar.

log2 ve π sayıları transandant sayılara örnektir. π sayısı 3,14159… değeri ile herhangi bir dairede çevre uzunluğunun çapı oranıdır.

1851 yılında Fransız matematikçi Liouville transandant sayıların mevcudiyetini ispat etti. Bunu bazı sayıların cebirsel olmadıklarını göstermekle ispatlamıştır. 19. yüzyılın sonlarında π nin transandant bir sayı olduğu ispatlanmış ve bu netice “daireyi kareye çevirme” diye bilinen eski bir geometrik çizim problemini halletmiştir. 19. yüzyılda diğer bir ilerlemeyi Alman matematikçi Cantor, tamamen farklı bir şekilde meseleyi ele alarak, transandant sayıların varlığını ispatlamıştır. Cantor’un ispatı Liouville’nin kine göre cebirsel sayılara nazaran transandant sayıların daha bol olduğunu ispat etmekle bir üstünlük sağlamıştır.

e, π, eπ, 2√2 transandant sayılara bazı örneklerdir. Bu sayılarla çalışmak çok ilgi çekicidir. Çünkü benzer transandant sayıların inşa edilmesi çok zordur. e’nin transandantlığı tabi (doğal) logaritmanın tabanı olarak ilk defa 1873 de Euler tarafından gösterilmiştir.π’nin ki ise 1882 de F.Lindemann tarafından ispatlanmıştır.

Dolayısıyla a≠0, b≠1 ve b bir irrasyonel sayı olmak üzere ab sayısının transandant olup olmadığına karar vermek oldukça zordur. Hilbert sayısı olarak bilinen 2√2‘nin transandant olduğunun gösterilmesi uzun yıllar almıştır.


Rasyonel (bütün bunlar cebirsel sayılardır)

Reel Sayılar
Cebirsel mesela √2 , 3√7
İrrasyonel
Transandant mesela 2√2 , log2 ve π


Rasyonel
Cebirsel
İrrasyonel
Reel Sayılar

Transandant (bütün bunlar irrasyonel sayılardır)


Cebirsel sayıların bazıları rasyonel, bazıları irrasyoneldir. Fakat bütün transandant sayılar irrasyoneldir.

Reel sayıları sınıflamada farklı yollar gösterebiliriz.

1. Pozitif, negatif ve sıfır
2. Rasyonel sayı ve irrasyonel sayı
a. Eğer sayı bitiyorsa; rasyoneldir. Örnek: 5/8=0,625
b. Eğer sayı tekrar ediyorsa; rasyoneldir. Örnek: 5/11=0,4545…tekrarlayan ondalık
c. Eğer sayı bitmeyen ve tekrarsız ondalığa sahipse; irrasyoneldir.w
Örnek: √2=1,414213… π=3,14159… e=2,71828…


ONDALIK GÖSTERİLİŞLER


1/3 sayısını reel doğru üzerinde, 0 ile 1 birim noktaları arasını 3’e bölen mesafeye kolayca yerleştirmek mümkündür.


0 1/3 1



Şimdi 1/3’ün ondalıkla gösterilmesini göz önüne alalım:

1/3=0,33333…=3/10+3/100+3/1000+…

bu eşitlik 1/3’ü sonsuz terimli bir toplam olarak ifade eder. Terim sayısının sonu olmamasına rağmen toplamın belirli, yani 1/3 bir değeri vardır. Eğer 0,3 ; 0,33 ; 0,333 ; 0,3333 ; … lere tekabül eden noktaları reel doğru üzerine yerleştirirsek 1/3 noktasına yakın sayan bir noktalar silsilesi elde ederiz.


0 1/3

0,30 0,33


Herhangi bir sonsuz ondalık aynı şekilde reel doğrunun belirli bir noktasına ait olacaktır.

0,99999… sonsuz ondalığı halinde bunu gösteren nokta 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ; 0,99999 ;vs… noktalarına tekabül eden noktalara yakınsar.

1=0,99999… eşitliğine yakın olarak 1 noktasına yakınsarlar.

0,99
0 0,9 1



• Her sayının sonsuz bir ondalık açılımı vardır.


Ör: ½=0,5000… 1/3=0,333..


Sonlu ondalık açılımı olanlar Ör: ¼=0,25
Rasyonel sayılar
Periyodik (tekrarlayan) ondalık açılımı olanlar Ör: 5/8=0,4545…



İrrasyonel sayılar Periyodik olmayanlar Ör: π=3,14159…

• Reel sayıların sonsuz ondalık gösterilişleri tektir. İspatlayalım.

Farklı sonsuz ondalık gösterilişi olan iki sayı alalım.
a= 17,923416…
b=17,923415…

a>17,923416 olduğu açıktır. b’de en fazla 17,923416’dır. b’de 5’ takip eden rakamların hepsi 9 olursa, yani eğer b=17,9234159 olursa, b=17,923416 veya 17,923416≥b şeklinde yazarız.

a>17,923416≥b buradan a>b çıkar. Şu halde a’nın b’den daha büyük olduğu sonucuna varırız; tabi bu eşitlik imkanını yok eder yani ortadan kaldırır.


Π SAYISI

İnsanoğlu, daire dediğimiz, kendine özgü düzgün yuvarlak şeklin farkına, tekerliğin icadından çok önceki tarihlerde varmıştır. Bu şekli, diğer insan ve hayvanların göz bebekleriyle gökyüzündeki güneş veya ayda görüyordu. Derken, elindeki sopa ile, kum gibi düzgün yüzeylere daire çizdi. Sonra düşündü; bazı daireler küçük, bazıları ise büyük. Görüyordu ki, dairenin bir ucundan öteki ucuna olan uzaklığı (çapı), büyürse çevresi o kadar büyüyordu. Cilalı taş devri insanı, artık soyutlamasını yapmıştı. Dairenin; çevresinin uzunluğu ile çapının uzunluğu orantılıydı. Çevrenin çapa oranı, daireden daireye değişmiyor, sabit kalıyordu. Demek ki, bu sabit orana π dersek; çevre/çap=π sabit şeklinde yazılabiliyordu. Bu oranın sabitliği anlaşıldıktan sonra, sabit oran değerinin, sayı olarak belirlenmesi gerekiyordu.

Tarihi: π sayısı Babiller, Eski Mısırlılar ve pek çok eski uygarlık tarafından biliniyordu. Onlar, tüm çemberlerin çevresinin çapına bölümünün sabit bir sayıya eşit olduğunu fark etmişlerdi. Bu sabit sayının bulunması artık çapı bilinen bir çemberin çevresinin hesaplanmasına imkan veriyordu. M.Ö 2000 yılı civarında π’yi;

M.Ö 2000: Eski Mısırlılar π = (16/9)2=3,1605
M.Ö 2000: Mezopotamyalılar Babil devrinde π = 3⅛
M.Ö 1200: Çinliler π = 3
M.Ö 550: Kutsal Kitapta(1. Krallar 7:23), π = 3
M.Ö 434 Anaksagoras daireyi kare yapmaya girişir.
M.Ö 300: Archimides 3 10/7<π<□ buluyor.Bundan başka yaklaşık π=211875/67441 buluyor.
M.S 200: Batlamyos π = (377/120)=3,14166
M.S 300: Çüng Hing π = √10=3,166
M.S 300: Vang Fau π =(142/45)=3,155
M.S 300: Liu Hui π = (471/150)=3,14
M.S 500: Zu Çung-Çi 3,1415926< π,1415927
M.S 600: Hintli Ayabhatta π =(62832/2000)=3,1416
M.S 620: Hintli Brahmagupta π = (m/10) ,bazı kaynaklara görede π=√10 olduğu,
M.S 1200: İtalyan Fibonacci π = 3,141818
M.S 1436: Semerkant Türkü Giyasüddin Cemşid E Kaşi π yi 14 basamağa kadar elde ediyor.
M.S 1573: Valentinus Otho π =(355/113)=3,1415929
M.S 1593: Hollandalı Adriaen Van Roman π yi 15 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S 1596: Hollandalı Lodolph ve Cevlen π yi 35 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S 1705: Abraham Sharp π yi 72 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S 1706: John Machin π yi 100 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S 1719: Fransız De Lagny π yi 127 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S 1737: Leonard Euler’in bemimsemesiyle π sembolü evrensellik kazanıyor.
M.S 1761: İsviçreli Johaun Heinrich Lambert π nin irrasyonelliğini kanıtlıyor.
M.S 1775: İsviçreli matematikçi, L.Euler π nin üstel olabileceğini işaret ediyor.
M.S 1794: Vega π yi 140 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S 1844: Avusturyalı Schulz Von Strassnigtzky π yi 200 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S 1855: Richter π yi 500 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S 1874: İngiliz W. Shanks π yi 707 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S 1882: Alman Ferdinan Lindemann π nin üstel bir sayı olduğunu kanıtlıyor.
M.S 1947: İlk bilgisayar ENİAC π yi 2035 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S 1958: F.Genuys tarafından, Chiffers 1 de yayınlanan makalede, π sayısının değeri
10000. ondalık basamağa kadar hesaplanıyor.

M.S 500 yılı civarında π sayısı için 3,1415929 olarak kullanılıyordu. Daha sonra p=3 tam 10/71 ve 3 tam 1/7 (Arhimedes M.Ö 287)

p/2=2n.2n/(2n-1)(2n-1) (Jhan Wallis 1616-1703)

p/4=1-1/3+1/5=1/7+1/9-1/11+… (Leibniz 1673)

π2/6=1/12+1/22+1/32+1/42+… (Euler 1736)

π=3,2 (New York Timez 1892)

π=4 (Bill House dergisinde 1897)

(Fakat bu sadece Hindistan da eğitime yardım amaçlı olmuştur.)
π=3,13/81 (1934 de bir kitap)

Ayrıca burada π’nin sembolü de ilk 1706 da bulunmuş, ancak Euler 1737 yılında bunu kullanana kadar yayımlanmıştır. Bundan önce p olarak kullanılmıştır. Daha sonra William Shank 1873 de π’nin 700 basamaktan oluştuğunu bulmuştur. Bu onun 15 yılını almıştır. Fakat gelişen teknolojide son 100 rakamın yanlış olduğu ortaya çıkmıştır.

π sembolü, Yunan alfabensin 16. harfidir. Ayrıca, aynı zamanda, Yunanca çevre (çember) anlamına gelen “perimetier” kelimesinin ilk harfidir. En son olarak π sayısı;


Πsayısı=3,141592653589793238462433832795028841 9716 93993751058209749445923078 16406286208998628034825342117067982148086513282306 647093846095505822317253594081 28481117450284102701938511105559646229489549303819 644288109756659334461284756482 33786783165271201909145648566923460348610454326648 213393607260249141273724587006 60631558817488152092096282925409171536436789259036 001133053054882046652138414695 19415116094330572703657595919530921861173819326117 931051185480744623799627495673 51885752724891227938183011941298336733624406566430 860213949463952247371907021798 60943702770539217176293176752384674818467669405132 000568127145263560827785771342 75778960917363717872146844090122495343014654958531 005079227968925892354201995611 12129021960864034418159813629774771309960518707211 349999998372978049951059731732 81609631859502445945534690830264252230825334468503 526193118817101000313783875288 65875332083814206171776691473035982534904287554687 311595628638823537875937519577 81857780532171268066130019278766111959092164201989 …


Burada π sayısı 3,1 ile 3,2 arasında bir sayıdır. Arhimedes dairenin alanını dilimler halinde bölerek bundan daha yaklaşık bir değer söylemiştir.








17. ve 18. yüzyıllarda matematikçiler, sonsuz seriye uğraşmaya başlamışlardır. Bu uğraş sonunda π sayısını;

π/2=2.2.4.4.6.6.8.8…/1.3.3.5.5.7.7.9.9…(Wallis 1656)
π=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…) (Leibniz 1673)
π2/6=1/12+1/22+1/32+… (Euler 1736)

Sonsuz seriler olarak ortaya çıkmıştır.

Matematikçiler bekliyorlardı ki, bir yerden sonra, basamaklar önceki değerlerini tekrar etsin, yani devirli ondalık sayı halinde yazılabilsin. Ama, 1761 yılında İsveçli matematikçi Lambert, π sayısının irrasyonel olduğunu, yani dairenin çevresi ile çapının bir ortak ölçüsü olmadığını ispatladı.











Bir daireyi dörde bölüp, parçaları şekildeki gibi birleştirirsek dikdörtgene yakın bir şekil oluşur. Şeklin boyu dairenin çapı, eni ise çevrenin yarısı kadardır. (πr). Bu durumda dikdörtgenin alanı Alan= En*Boy olacağından Alan=πr2 olacaktır.


Yarıçap Çevre Alan
2
4=2*2
6=3*2
8=4*2 4π
8π=2*4π
12π=3*4π
16π=4*4π 4π
16π=4*4π=22*4π
36π=9*4π=32*4π
64π=16*4π=42*4π



Ayrıca

π sayısı x,y gibi değişken değil sabit bir sayıdır. Hiçbir zaman değişmez. Π sonsuz büyüklükte değil söylediğim gibi 3,1 ile 3,2 arasında bir sayıdır.

“ e ” SAYISI

Matematikte π kadar ünlü bir başka sayıda e’dir. e, doğal logaritmanın tabanıdır. e’yi en iyi, bir niceliğin büyümesi yolu ile tanımlayabiliriz. Bankaya 1 lira koydunuz diyelim, banka yılda %4 faiz veriyor olsun. 25 yıl sonra paranız 2 lira olur. Fakat bir de bankanın bileşik faiz uyguladığını düşünün; “bileşik faiz”de faiz ana paraya değil “anapara+faiz”e uygulanır. Bileşik faizde para daha hızlı büyür. Örneğin, faiz yıllık hesaplanırsa, 1 lira 25 yıl sonra (1+1/25)^25=2,66 liradan fazla olacaktır. Faiz 6 ayda bir hesaplanırsa 1 liradan 25 yıl sonra (1+1/50)^50=2,69 liradan fazla olur. Bir genelleme yaparsak 25 yılda 1 lira, sonsuza giderken, (1+1/n)^n=2,718…gibi bir limite ulaşır. İşte bu limit (2,718…) e sayısıdır. Bunu şöyle ifade edersek; Bankanın verdiği faiz ne olursa olsun, 1 liranın 2 lira olması için geçen sürede bileşik faiz uygulanırsa 1 lira e lira olur. Bir parabol bir doğru boyunca yuvarlandığında parabolün merkezi bir “katen arian” (zincir eğrisi) çizer. Bu eğrinin formülünde e vardır.

Π gibi e de, transandantal (aşkın) bir sayıdır. yani gerçel katsayıları olan bir cebirsel denklemin köklerinden bir olarak ifade edilemez, cetvel ve pergelle bir doğru parçası olarak gösterilemez.

Π gibi e’de sonsuza giden bir kesir veya sonsuz bir serinin limiti olarak ifade edilebilir.

Bu sürekli kesir 18. yüzyılda İsviçreli matematikçi Euler tarafından bulunmuştur. e sembolünü ilk kullanan da Euler’dir. süre çok uzunsa küçük faizler bile 1 lirayı dev boyutlara ulaştırır. Örneğin; M.S 1 yılında %64 faizle bankaya konan bir para 1960 yılında 1,04^1960 lira olurdu. Bu sayı 32 haneli bir sayıdır.

Bu tip büyümenin özelliği şudur: büyüme hızı her an niceliğin büyüklüğü ile orantılıdır. Durum tıpkı tepeden aşağı yuvarlanan kartopuna benzer. Kartopunun büyüklüğü arttıkça büyümesi de hızlanır. Birçok organik olayda da görüldüğü gibi buna “organik büyüme” denir.

Bütün bu olayların formülü y= dir. Buna diğer üstel fonksiyonlardan (y=2^x) gibi ayırt etmek için ana üstel fonksiyon denir. y=e^x in türevi y’=e^x tir.yani y=y’ dir. e sayısı katenarian denen eğrinin formülüne girer. Katenarian, iki ucundan tespit edilmiş bir ip aşağı sarkıtıldığında oluşan eğridir. Parabol, hiperbol, elips ve daire bir düzlemin bir koniyi kesmesi sırasında oluşan eğridir. Katenarian parabole benzemekle bir konik değildir. (1+1/n)^n formülü açılırsa e bir sonsuz seri olarak ifade edilmiş olur.



TANIM:




x
A(x)=∫ 1/t dt olur
1 1

A(x)=1 denklemini sağlayan bir
Sayıya e sayısı denir.


1 X






TRANSANDANT SAYILARIN VARLIĞI HAKKINDA CANTOR’UN İSPATI

Sonsuz çok sayıda transandant sayıların mevcut olduğunu göstererek, bağımsız bir ispat vereceğiz. Bir bakıma, hakikatte, transandant sayıların cebrik sayılara nazaran daha fazla olduklarını tesis ederiz.

Sonsuz bir cümleye, eğer üyeleri;

a1 , a2 ,a3 , a4,…

gibi bir dizi halinde, cümlenin her üyesi dizide bulunabilecek şekilde yazılabilirse, sayılabilir. Mesela dizide n ci terim 2n olacak şekilde çift sayılar cümlesi,

2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , …

olarak yazılabilir, şu halde bu bir sayılabilir cümledir.

Bütün tamsayılar cümlesi sayılabilir, çünkü

0 , 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , -3 , 4 , -4,…

dizisi halinde yazılabilir.

Bir cümlenin sayılabilir olduğu sonucuna varmak için bir cümlenin n inci terimini veren has her hangi bir formülünü bilmemize lüzum yoktur. Mesela

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19,…

asal sayılar cümlesi, hatta yüz milyonuncu asal sayının tam katı değerini bilmesek bile, sayılabilir. Bütün cümle için bir dizisel sıra tasavvur edebilerek böyle bir asal sayının var olduğunu bilmek kafidir.

Bundan sonra bütün rasyonel sayılar cümlesinin sayılabildiğini tesis ederiz. Her hangi bir rasyonel sayının, katsayıları a ve b tamsayıları olan, ax+b=0 lineer bir denklemin bir kökü olduğunu görürüz. Bundan başka genellikten her hangi bir şey kaybetmeden a nın pozitif olma şartını koyarız. Mesela 3/5 rasyonel sayısı 5x-3=0 ın bir köküdür. ax+b=0 denkleminin indisi;

1+a+lbl

dir deriz; bir denklemin indisi böylece pozitif bir tamsayıdır. Mesela 5x-3=0 denkleminin indisi 9 dur. İndisi 1 olan hiçbir denklem yoktur, ve indisi 2 olan ancak bir tane denklem vardır, o da x=0 dır. C1 tablosu indisi 5 e kadar olan bütün lineer denklemleri ihtiva eder. Büyüklük sırasına göre, C1 tablosundaki denklemlerle ithal edilen rasyonel sayılar, C2 tablosunda gösterildiği gibi, cetvel halinde de yazılabilirler.

Her hangi bir j indisi ancak sonlu sayıda lineer denklemlerin mevcut olduğu aşikardır. Hakikatte, j indisli 2j-3 denklem vardır.(tamsayının hakikatte bir ehemmiyeti yoktur.) Böylece her artan bir indis ile ancak yeni rasyonel sayılar sonlu sayıda sunulur. Bu sebepten rasyonel sayılar sonlu sayıda sunulur. Bu sebepten rasyonel sayıları her defasında, 2 indisli denklemlerin, sonra 3 indisli denklemlerin, ve daha büyük indisli denklemlerin köklerinin cetvelini yaparak

0 , -1 , 1 , -2 , 2 , -1/2 , ½ , 2 , -3 , -1/3 , 1/3 , 3 , …

gibi bir dizi şeklinde yazabiliriz.




TABLO C1

İndis

Denklemler
2

3

4


5 x = 0

2x = 0 x + 1 = 0 x – 1 = 0

3x = 0 2x +1 = 0 2x –1 = 0
x + 2 = 0 x – 2 = 0

4x = 0 3x +1 = 0 2x + 2 = 0
2x –2= 0 x + 3 = 0 x + 3 = 0


TABLO C2

İndis

Sunulan Rasyonel Sayılar
2

3

4

5 0

-1 , +1

-2 , -1/2 , ½ ,2

-3 , -1/3 , 1/3 , 3




Madem ki her rasyonel sayı bu dizide geçecektir, bundan rasyonel sayıların sayılabilir olduğu sonucu çıkar.

Hakikatte aynı ispat cebrik sayılar cümlesinin sayılabilir olduğunu tesis için kullanılabilir. Fakat evvela bir cebrik denklemin kaç tane kökü olabileceği hakkında bir şeyler bilmemiz lazımdır. Cebrik bir sayının;

1) f(x)=axxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2

+…+a2 x2 + a1x+a0 = 0

tipinde, katsayıları tamsayılar olan, f(x) denklemini sağladığını hatırlayınız, an i pozitif alabiliriz, eğer negatif ise, o zaman köklerine dokunmadan, denklemi -1 ile çarpabilirdik.





TEOREM C1.

(1) şeklindeki bir denklemin en fazla n farklı kökü vardır.

İSPAT: İspat edilecek olanın aksine (1) denkleminin n +1 farklı kökü olduğunu farz edelim, bunlar β1, β2, β3,…, βa+1 olsun. Biz şimdi Teorem 7.2 yi, veya daha dorusu, bu sonuçta biraz farklı olanını kullanırız. Bu teoremin ispatı bize, β ister rasyonel bir sayı olsun veya ister olmasın, eğer β f(x) in bir çarpanı olduğunu temin eder. β nın irrasyonel olması halinde, bölüm sonucu q(x) in katsayıları irrasyoneldir, fakat bu hal burada bahis konusu değildir. Böylece bu kısımda x-β1 in f (x) in bir çarpanı olduğunu görürüz;q1 (x) bölüm sonucu olmak üzere

f (x) = (x-β1)q1(x)

dir. Madem ki β2 f (x) = 0 ın diğer bir köküdür, o halde q1 (x) = 0ın da bir kökü olmasının lazım geldiğini görürüz ve böylece x-β2 q1 (x) in bir çarpanıdır; q2 (x) bölüm sonucu olmak üzere;

q1(x) = (x-β2)q2(x)

f(x)=(xβ1)q1(x)=(x-β1)(x-β2)q2(x)

dir. Bu işlem β3, β4 , …, βn ile devam edilirse, f(x) in

2) f(x) = (x-β1)(x-β2)(x-β3) … (x-βn)qn(x)

şeklinde çarpanlara ayrılabileceğini görürüz. Fakat f(x) in derecesi n dir, şu halde qn(x) bir sabit olmalıdır; hakikatte bu çarpanlara ayrılmanın (1) denklemine uygun düşmesi için qn(x) an olmalıdır.

Şimdi bütün diğer köklerden farklı olan βn+1 kökünü göz önüne alalım. F (βn+1) = 0 olmasından, (2) den sıfır olmayan terimlerin çarpımlarının sıfır olması imkansız olan
(βn+1-β1)( βn+1-β2 )( βn+1-β3) … ( βn+1- βn) an= 0

çıkar.Böylece teorem C1 ispatlanmış olur.


TEOREM C2.Cebrik sayılar cümlesi sayılabilir.


İSPAT: n+an+l an-1 l + lan-2 l

+…+la2l + la1l + la0l

ne (1) denkleminin indisidir deriz. an pozitif olduğundan bu bir pozitif tamsayı olup bir lineer denklem indisi tarifinin açık bir genelleştirilmesidir. İndislerin ufak değerlerine tekabül eden bütün denklemleri, tablo C3 de gösterildiği gibi, cetvel halinde verebiliriz.


TABLO C3


İndis
Denklemler

2

3

4 x = 0

x2=0, 2x=0, x+1=0, x-1=0,

x2=0, 2x2=0, x2+1=0, x2-1=0,
3x=0, 2x+1=0, 2x-1=0,
x+2=0, x-2=




Lineer denklemler halinde olduğu gibi, Tablo C3 ün denklemlerinden çıkan bütün yeni cebrik sayıların şimdi listesini yaparız. Bunları her indis için büyüklük sırasına göre alırsak;

0; -1 , 1; -2 , -1/2 , ½ , 2 ; -3 ,


(3) -√5+1/2 , -√2 , -√2/2 , -√5-1/2 ,

-1/3 , 1/3 , √5-1/2 , √2/2 , √2 , √5+1/2 ,

3; -4 , …

dizisini elde ederiz. 0 sayısı indisi 2 olan bir denklemden , -1 ve +1 sayıları indisi 3 olan, -2 , -1/2 , ½ ,2 sayıları indisi 4 olan, vs. denklemlerden gelmektedir. Tespit edilen her hangi bir h indisli denklemin sayısı sonludur, zira n derecesi ve an, … ,a0 katsayıları sonlu bir tamsayılar cümlesine inhisar etmektedir. Aynı zamanda her denklemin Teorem C1 gereğince en fazla n kökü olacağını biliyoruz. Bu sebepten (3) dizisi bütün reel cebrik sayıları ihtiva eder. mamafih daha yüksek indislere geçtiğimiz de, verilen her hangi bir indis deki bütün denklemlerin her safhada listesini çıkarabilmemize rağmen, (3) de ilk birkaç sayıyı elde ettiğimiz gibi, has kök şekillerinin listesini yapmaya devam edemeyiz.

Teorem C2 den, 0 ile 1 arasındaki reel cebrik sayıların sayılabilir olduğuna dair yeni bir sonuç tesis etmek arzu ediyoruz. Bu, alt cümlelere ait bir teorem ile ifade edeceğimiz genel basit bir prensipten çıkar. Eğer M in her elemanı S in bir elemanı olursa bu takdirde bir M cümlesine bir S cümlesinin bir alt cümlesidir denir.

TEOREM C3. Herhangi sayılabilir sonsuz bir alt cümlesi olsun; bu S = {a1 , a2 , a3 , a4 ,…} olsun. a1 S nin M de bulunan ilk elemanı, a2 ikinci elemanı, vs. olsun. Bu halde;
M={a1 , a2 , a3 , …}
M cümlesi olup bunun da sayılabilir olduğu aşikardır.
Buraya kadar göz önüne aldığımız her sonsuz cümle sayılabilirdi. Şimdi sayılamayan farklı bir cümleyi tetkik edeceğiz.

TEOREM C4. Reel sayılar cümlesi sayılamaz.
İSPAT: Teorem C3 den dolayı, 0 ile 1 arasındaki reel sayılar için bunu ispat etmek kafi gelecektir; bilhassa 1 i ihtiva edip 0 ı hariç tutan 0<x≤1 yi sağlayan x reel sayılar içindir. Farz edelim ki 0 ile1 arasındaki reel sayılar cümlesi sayılabilir olsun:
r1 , r2 , r3 , r4 ,…
bütün bu hallerde sonsuz periyodik şekilleri kullanarak bitimli ondalıklardan kaçınarak bu sayıları ondalık şekilde yazın. Mesela ½ 0,5 den ziyade 0,499999… olarak yazılmalıdır. Böylece;
r1 = 0,a11a12 a13a14a15 …,
r2 = 0,a21a22a23a24a25 …
r3 = 0,a31a32a33a34a35…, vs.
olacaktır. Şimdi bir
β = 0,b1b2b3b4 …
sayısını aşağıdaki şekilde teşkil edelim. b1 1 ile 9 arasında, b1 a11 den farklı olması mecburiyeti hariç, her hangi bir rakam olsun. benzer şekilde, b2 a22 den başka her hangi sıfır olmayan bir rakam olsun. genel olarak, bk ak dan başka sıfır olmayan her hangi bir rakam olsun. bu sebepten β sayısı r1den farklı (zira birinci ondalık basamakta fark ederler), r2 den farklı (zira ikinci ondalık basamakta fark ederler), ve genel olarak β rk dan farklıdır (zira k inci ondalık basamakta fark ederler). Böylece β r lerin her birinden farklıdır. Fakat β 0 ile 1 arasındaki reel bir sayıdır, şu halde bir çelişmezliğe düşeriz.
Bu teoremden, madem ki 0 ile 1 arasındaki cebrik sayılar sayılabilir ve fakat 0 ile 1 arasındaki sayılar sayılamazlar, şu halde cebrik olmayan reel sayıların mevcut olmasının icap ettiği sonucuna varırız. Bunlar, varlıkları böylece ispatlanan, transandant sayılardır.

TEOREM C5. Reel transandant sayılar cümlesi sayılamazlar.
İSPAT: Reel transandant sayıların sayılabilir olduğunu farz edelim; bunlar
t1 , t2 , t3 , t4 , …
olsunlar. Mademki reel cebrik sayılar Teorem C2 gereğince sayılabilir, bunlar a1 , a2 , a3 , a4 ,. olsunlar, Teorem C4 ün aksine reel sayılar cümlesi
t1 , a1 , t2 , a2 , t3 ,a3 , t4 , a4 , …
gibi dizi halinde listesi verilebilir. Böylece bir çelişmezliğe düşer ve Teorem C5 tesis edilmiş olur.
Nihayet, Teorem C2 ve C5 i, transandant sayıların cebrik sayılardan “daha fazla” olduğunu söyleyerek yorumlayabiliriz. Cebrik sayıların sonsuz bir dizi halinde listesi yapılabilir. Fakat böyle bir dizi halinde listelemeyi mümkün kılamayacak kadar çok sayıda transandant sayı vardır.

GERÇEK SAYILARIN OLUŞUMU
Bu oluşumda sadece yaklaşık olarak ulaşılabilen sayıların kesin bir biçimde tanımlanması amaçlanır.
Burada, Q rasyonel sayılar kümesini içeren ve aşağıda belirtilen amacı gerçekleyen bir R kümesi tanımlamak söz konusudur; amaç, cebirsel işlemlerin genişlemesine ve üstün sayıların kullanımına fırsat vermektir. İki matematikçi aynı zamanda, ama birbirlerinden ayrı olarak bu problemi çözmeye çalıştılar.
Alman Richard Dedekind’in (1831-1916) düşüncesi, rasyonel çıkan irrasyonel sayıların boşluğunu doldurmak için sıralama bağıntısını kullanmaktı.
Q’nun boş olmayan, ayrık (a) ve (A) gibi iki alt kümesi göz önüme alınır, (a) ‘ya alt sınıf, (A)’ya ise üst sınıf adı verilir; (a)’nın bir elemanından küçük olan her rasyonel sayı (a)’nın elemanıdır;(A)’nın bir elemanından büyük olan her rasyonel sayı da (A)’nın elemanıdır. Bu iki sınıf komşudur. Biri (a)’ya, diğeri de (A)’ya ait olan ve aralındaki uzaklık istendiği kadar küçük alınabilen elemanlar vardır. Bu iki sınıf Q’nun bir kesimini oluşturur. Mesela, karesi 2’den küçük olan rasyonel sayıların sınıfı (A) ise, bu iki sınıf Q’nun bir kesimini verir.
Cantor ve Dedekind ‘in ifadeleri gerçek sayılara bir tam sıralama bağıntısı ve aritmetiğin dört işlem için sağlam özellikler kazandırdı. Bu iki ifade birbirine denktir. Üstelik, herhangi iki gerçek sayı arasında en az bir rasyonel sayı her zaman vardır. Bu durum, rasyonel sayılarla bir gerçek sayıya istendiği kadar yaklaşılabileceğini gösterir: bu nedenle Q rasyonel sayılar kümesinin, R gerçek sayılar kümesi içinde yoğun olduğu söylenir. Buna karşın, Q rasyonel sayılar kümesi sayılabilir küme olmasına rağmen, R gerçek sayılar kümesi sayılabilir küme değildir.
Nihayet R gerçek sayılar kümesinin bir temel özelliğini verelim: gerçek sayıların üstten sınırlı artan her dizisi bir gerçek sayıya doğru yakınsar. Böylece Q rasyonel sayılar kümesindeki boşlukları doldurma amacına ulaşır; R gerçek sayılar kümesinin sürekli olduğu söylenir ve bu küme bir doğru üzerindeki noktaların kümesi ile bir tutulabilir.
Artık reel sayıları inşa edebiliriz. Bunun için önce Q üzerinde bir denklik bağıntısı tanımlayacağız. Bu denklik bağıntısına göre denklik sınıfları reel sayılar olacaktır.
Q0 = {(an) Є : (an) bir sıfır dizisidir }
Olsun.
Lemma: q üzerinde bir “~” bağıntısı şöyle tanımlansın. (an) , (bn) Є Q için eğer
( an – bn ) Є Q03
ise o zaman (an) ~ (bn) olsun. bu bağıntı Q üzerinde bir denklik bağıntısıdır.
İSPAT: (an) , (bn) , (cn) Є Q olsun.
i) Yansıma Özelliği
( an – an ) = (0)
ve 0 bir sıfır dizisi olduğundan (an) ~ (an) dir.
ii) Simetri Özelliği
(an) ~ (bn)
olsun. O zaman (an – bn) sıfır dizisidir. Bu durumda
lim ( b n– an ) = lim (-1) ( a n– bn )
n→ n → ∞
= (-1) lim ( a n– bn )
n → ∞
= (-1) . 0
= 0
olduğundan ( bn – an ) sıfır dizisidir ve dolayısıyla ( bn ) ~ ( an ) dir.
iii) Geçişme Özelliği
( an ) , ( bn ) , ( cn ) Є Q ve ( an ) ~ ( bn ) , ( bn ) ~ ( cn ) olsun. O zaman an – bn bn – cn sıfır dizileri olduğundan;
( an – cn ) = ( an – bn ) + ( bn – cn )
bir sıfır dizisidir. Dolayısıyla ( an ) ~ ( an ) dir. Böylece ( i ) , ( ii ) , ( iii ) den dolayı ~ bağıntısı Q üzerinde bir denklik bağıntısıdır.
Tanım: Q üzerinde Lemma’da tanımlı denklik bağıntısına göre her ( an ) Є Q elemanının denklik sınıfı ( an ) olsun. ( an ) ye bir reel (gerçel) sayı denir.
Bütün reel sayıların kümesi
R = { ( an ) : ( an ) Є Q }
İle gösterilir.
R de cisim Aksiyomları:
R de ( + ) toplama işlemine ait aksiyomlar:
+ : R x R → R
( x , y ) → x + y
( i ) Değişme aksiyomu: x + y = y + x ,  x , y Є R
( ii ) Birleşme aksiyomu: x + ( x + y ) = ( x + y ) + z , →  x , y , z Є R
( iii ) Birim eleman aksiyomu: x + 0 = 0 + x = x olacak şekilde x Є R
( iv ) Negatif eleman aksiyomu:  x Є R için x + y = y + x = 0 olacak şekilde bir tek y
reel sayısı vardır. Böylece tanımlanan y reel sayısına x reel
sayısının negatifi denir, - x ile gösterilir.
( R , + ) ikilisi bir değişmeli grup adını alır. Bu gruba reel sayıların toplama grubu denir.
R de ( . ) çarpma işlemine ait aksiyomlar:
. : R * R → R
( x , y ) → x . y = xy
( v ) Değişme aksiyomu: xy = yx ,  x , y Є R
(vi) Birleşme aksiyomu: x ( yz ) ,  x , y , z Є R
( vii ) Birim eleman aksiyomu: x . 1 = 1 . x = x olacak şekilde  x Є R için bir tek 1 reel sayısı vardır.
( viii ) Ters eleman aksiyomu: Sıfırdan farklı bir x reel sayısı için xy = yx = 1 olacak şekilde bir tek y reel sayısı vardır. Böylece tanımlanmış olan y reel sayısına x in tersi denir.
( ix ) Dağılma aksiyomları: x ( y + z ) = xy + xz
ve
( x + y ) z = xz + yz
dir.
Böylece birbirine bağlanmış olan ( R , + , … ) üçlüsüne reel sayılar cismi denir.
0 reel sayısı unutulacak olursa geriye kalan reel sayılar R* = R – { 0 } ile gösterirsek ( R* , …) ikilisi de (v ), ( vi ),(vii ) ve ( viii) aksiyomları sayesinde bir diğer değişimli grup olur. Buna da reel sayıların çarpma grubu adı verilir.

MUTLAK DEĞER

x ’in mutlak değeri x’in büyüklüğünün ölçüsü olarak düşünülebilir. Bir başka düşünce de x’in orjine olan uzaklığı olduğudur. Buna göre bir gerçel sayının mutlak değeri hiçbir zaman negatif olmayacaktır.
x herhangi bir gerçel sayı ise x’in mutlak değeri IxI ile gösterilir.
Öğrencilere çeşitli etkinlikler yaptırılarak

x’ i 0 ≤ x ise
IxI =
- x’ i x < 0 ise

olduğu açıklanabilir.
Mutlak değer en temel geometrik düşünce olan uzaklıkla uğraşmak için cebirsel bir araçtır.
Herhangi iki x , y gerçek sayıları için I x – y I değerine x’in y’ye olan uzaklığı denir. Ix – y I büyüklüğü bir uzaklık fonksiyonunda bulunması gereken bütün özelliklere sahiptir.