Üçgen de Alan

[Aylin's]

ÜÇGENDE ALAN

1. Genel Alan Bağıntısı
ABC üçgeninde [BC] kenarına ait yükseklik [AH]


Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.


Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir.


Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir.


2. Dik Üçgende Alan
Dik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir.


3. Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı;
ABC üçgeninde
m(ABC) = 
|AB| = c
|BC| = a


a. Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan;


eşitliği vardır.


b. |BC| = a |AB| = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi için  = 90° olmalıdır.


c. Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için |AB| = |AC| olmalıdır.
ABC üçgeni ikizkenar dik üçgen olmalıdır.

4. Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı;
ABC üçgeninin çevresi Çevre(ABC) = a + b + c
Çevrenin yarısına u dersek


5. Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r olsun.



Bu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını bulabiliriz.


Bir ABC üçgeninde iç teğet çemberin yarıçapı r ve yükseklikler

ABC dik üçgeninde A(ABC) = |BD|.|DC|


6. Kenarları ve çevrel çemberinin yarıçapı verilen ABC üçgeninin çevrel
çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olsun.


 Orta Dikme
Üçgenin kenarının orta noktasından çizilen dik doğrulara orta dikme denir.
[EA, a kenarının
[FO, b kenarının
[DO, c kenarının
orta dikmeleridir.

O noktası çevrel çemberin merkezidir.
7. Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları arasındaki bağıntı;
Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.
ABC ve ACD üçgenlerinin tabanları aynı doğru üzerinde ve tepe noktaları aynı noktada olduğuna göre, yükseklikleri eşittir.


8. Tabanları eşit üçgenlerin alanlarının oranı yüksekliklerinin oranına eşittir.
ABC ve DBC üçgenlerinin tabanları eşit ve çakışıktır.