Polinomlar

[Aylin's]

Tanım

a0,a1,a2,.....an reel sayılar ve n N olmak üzere , anxn + an – 1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 biçimindeki ifadelere , x’e göre yazılmış reel katsayılı polinom denir. Anxn teriminde an sayısına katsayı , n’ye de terimin derecesi denir.

En büyük dereceli terimin derecesi, polinomun dercesidir. Derece yerine kısaca “der” yazılır. Polinomlar P(x) , Q(x), ... ile gösterilir.

Reel katsayılı polinomların kümesi R|x| ile gösterilir. Katsayıları rasyonel sayılardan oluşan polinoma “rasyonel katsayılı polinom” denir.

Rasyonel katsayılı polinomların kümesi Q|x| tir. Katsayıları tam sayılardan oluşmuş , “tam katsayılı polinomların kümesi” de Z|x| tir.


Z|x| Q|x| R|x|

Örnek


a) x4 + 5x2 – 7x + 6

Çözüm

Dördüncü dereceden polinom.


b)x3 + + 4
x3 + + 4 = x3 + 3x-1 + 4 ifadesi polinom değildir. Çünkü –1 üssü doğal sayı değildir.

c)5x6 + + 1
5x6+ + 1= 5x6 + x1/2 + 1 ifadesi polinom değildir. Çünkü üssü doğal sayı değildir.

d)2x + 7
Birinci dereceden polinom.


e)x3 + x2 – 7x + 5

Üçüncü dereceden polinom.


SABİT POLİNOM

P(x) = a , (a R) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun dercesi sıfırdır.

Örnek


P(x) = 4
Q(x) = Polinomları sabit polinomlardır.
R(x) =

NOT

P(x) = 0 sıfır polinomu sabit polinomdur.
P(x) = 0 = 0 . x0 = 0 . x1 = 0 . x7 = ... yazılabileceğinden sıfır polinomunun dercesi belirsizdir. Bu nedenle sıfır polinomunun derecesi yoktur denir.

Örnek

P(2x – 3) = x4 + 2x2 – x + 5 ise P(1) in değerini bulunuz.

Örnek

P(2x – 3) = 4x2 + 6x + 1 olduğuna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm

2x – 3 = 1 => x = 2 yazılır.
P(4 – 3) = 16 + 8 – 2 + 5
P(1) = 24 + 3 = 27 bulunur.
Çözüm

P(2x - 3) ifadesinden P(x) i elde etmek için fonksiyonlarda olduğu gibi x yerine 2x-3 ün tersi yazılır.
P(2x – 3) = 4x2 + 6x + 1
P(x) = 4 ()2 + 6 () + 1
P(x) = 4 . + 3(x + 3) + 1
P(x) = x2 + 6x + 9 +3x + 9 + 1
P(x) = x2 + 9x + 19 olur.


İKİ DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR

P(x , y) = 3x4y3 + 5x3y + 6x – 2y + 5 ifadesi x ve y’ ye göre yazılmış reel katsayılı polinomdur. Bu polinomda

3x4y3 terimin derecesi 3 + 4 = 7
5x3y terimin derecesi 3 + 1 = 4
6x terimin derecesi 1
- 2y terimin derecesi 1
5 terimin derecesi 0


P(x , y) polinomunun derecesi 7 dir.


Örnek

P(x , y) = 2x3y2 – x2y + 2y – x + 2
P(1 , 2) nin değerini bulunuz.
Çözüm

X = 1 , y = 2 yazılır.
P (1 , 2) = 2 . 1 . 4 – 1 . 2 + 2 . 2 – 1 + 2
P (1 , 2) = 8 – 2 + 4 + 1 = 11 bulunur.














Örnek

X3 + 2x2 + 3x + 5 = (x2 + x + 1)(x + a) + bx+c
Eşitliğini sağlayan c kaçtır ?

Çözüm

X3 + 2x2 + 3x + 5 = x3 + ax2 + x2 + ax + x + a +bx + c
X3+ 2x + 3x + 5 = x3 + (a + 1)x2 + (a + b + 1)x +a +c
a+ 1 = 2 => a = 1
a + b + 1 = 3 => 1 + b + 1 = 3 => b = 1
a + c = 5 => 1 + c = 5 => c =4 olur.

Örnek

= + eşitliğini sağlayan A ‘nın değeri kaçtır?
Çözüm

= +

=

3x + 1 = A(2x + 3) + B(x – 2)
3x + 1 = 2Ax + 3A + Bx – 2B
3x + 1 = (2A + B)x + 3A – 2B
Buradan polinomların eşitliğine göre ,

2A + B = 3 A = 1 bulunur.
3A – 2B =1


İKİ POLİNOMUN EŞİTLİĞİ

Aynı dereceli iki polinomun , eşit dereceli terimlerinin katsayıları eşitse bu iki polinoma , eşit polinomlar denir.



KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + ... + a0 polinomunda x = 1 yazılırsa
Örnek

P(x) = (3x2 – 2x + 4).(x3 + 2x + 3) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz.
Çözüm

X = 1 yazılır
P(1) = (3 – 2 + 4).(1 + 2 + 3)
= 5 . 6
= 30 bulunur.
Örnek

P(3x + 4) = 5x3 – 7x2 – 3x + 5
Polinomu veriliyor. P(x) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz.

Çözüm

P(x) polinomunun katsayılar toplamı P(1) dir.
P(3x + 4) = p(1) => 3x + 4 = 1
X = - 1
P(3x + 4) polinomunda x = - 1 yazılırsa P(1) bulunur.
P(1) = 5(-1)3 – 7(-1)2 – 3(-1) + 5
= - 5 – 7 + 3 + 5
= - 4


P(1) = an + an – 1 + ... + a0 katsayılar toplamı bulunur.


SABİT TERİM


P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a0 polinomunda sabit terimi bulmak için x = 0 yazılır.
P (0) = a0 olur.

Örnek

P(2x + 4) = 3x2 – x + 7 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun sabit terimini bulunuz.
Çözüm

P(x) polinomunun sabit terimi P(0) dır.
P(2x + 4) polinomunda 2x + 4 = 0 => x = -2 yazlılır.
P(0) = 3(-2)2 – (-2) + 7
P(0) = 12 + 2 +7 = 21 olur.


POLİNOMLARDA TOPLAMA


İki polinom toplanırken dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır.

Örnek

P(x) = 3x3 – 7x2 + 6x + 2
Q(x) = 2x3 + x2 – 7x + 5
Polinomlarının toplamını bulunuz.
Çözüm

P(x) + Q(x) = (3x3 – 7x2 + 6x + 2) + (2x3 + x2 – 7x + 5)
= (3 + 2)x3 + (-7 + 1)x2 + (6 – 7)x + (2 + 5)
= 5x3 – 6x2 – x + 7 olur.



POLİNOMLARDA ÇARPMA


P(x) ve Q(x) gibi iki polinomun çarpımı , P(x) in her terimi , Q(x) in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak yapılır.
UYARI

M inci dereceden bir polinomla , n inci dereceden bir polinomun çarpımının (m + n) inci dereceden bir polinom olduğuna dikkat edilmelidir.


Derece[P(x) . Q(x)] = derece P(x) + derece Q(x)

Örnek

P(x) ve Q(x) iki polinomdur.
Q(x) = P(x2) . P(x3) ise Q(x) ‘ in derecesi nedir?

Çözüm

P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a0
P(x2) = an x2n + an-1 x2n-2 + ... + a0
P(x3) = an x3n + an-1 x3n-3 + ... +a0
Q(x) = P(x2) . P(x3)
Q(x) in derecesi 2n + 3n = 5n olur. 5 in katları olmalıdır.



POLİNOMLARDA BÖLME

P(x)’ in derecesi , Q(x) ‘ in derecesinden küçük olmamak ve K(x)’ in derecesi B(x)’ in derecesinden küçük olmak üzere ;
P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
Eşitliğini sağlayan B(x) polinomuna, P(x)’in Q(x)’ e bölümü ve K(x) polinomuna da kalan denir. Tam sayıların bölmesinde olduğu gibi;



P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)

Bölünen Bölen Bölüm Kalan






NOT

K(x) = 0 ise P(x) polinomu, Q(x) polinomuna tam bölünüyor denir.



Örnek

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x + 2 polinomunu
Q(x) = x2 + x +1 polinomuna bölerek bölümü ve kalanı bulunuz.






Çözüm

2x3 + 3x2 + 5x + 2 x2 + x + 1
2x3 2x2 2x 2x + 1
x2 + 3x + 2
x2 x 1
2x + 1
Bölüm = 2x + 1
Kalan = 2x + 1

Örnek

P(x) polinomu x + 3 ile bölündüğünde bölüm x2 + x + 2 ve kalan 7 ise P(x) polinomu nedir?

Çözüm

P(x) = (x + 3) (x2 + x + 2) + 7
P(x) = x3 + x2 + 2x + 3x2 + 3x + 6 + 7
P(x) = x3 + 4x2 + 5x + 13
Örnek

P(x) polinomunun x + 2 ile bölünmesinde bölüm Q(x) ve kalan 3 tür. Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümündeki kalan 6 dır. Buna göre , P(x) ‘ in (x2 + x – 2) ile bölünmesindeki kalan nedir?
Çözüm

P(x) = (x + 2) Q(x) + 3
Q(x) = (x – 1) . T(x) + 6 yazılır.
İlk eşitlikte Q(x) yerine ikinci eşitlik yazılır.
P(x) = (x + 2) [(x – 1) . T(x) + 6] + 3
= (x2 + x – 2) T(x) + 6x + 12 + 3
= (x2 + x – 2) T(x) + 6x + 15

Bölen Kalan
Kalan = 6x + 15 bulunur.




HORNER YÖNTEMİ


Bu yöntem , bölen polinom birinci dereceden bir polinom olduğunda kolaylık sağlar.


Örnek

P(x) = 3x3 – 5x2 + 2x + 4 polinomunu
Q(x) = x + 2 polinomuna bölerek bölüm ve kalanı bulunuz.







Çözüm

1)Böleni sıfır yapan x değeri bulunur.
x + 2 = 0 => x = - 2
2) Polinomun katsayıları aşşağıda görüldüğü gibi sıra ile (büyük dereceli terimden başlayarak) yazılır.


İlk terim olan 3 ile –2 nin çarpımı –5 in altına yazılır. –5 ile –6 toplanır. –2 ile -11 in çarpımı 2 nin altına yazılır. 2 ile 22 toplanır. –2 ile 24 çarpımı 4 ün altına yazılır ve toplanır. Son kalan sayı kalanı verir. Diğer sayılar bölümün katsayılarıdır.

Kalan = -44
Bölüm = 3x2 – 11x + 24 bulunur.

(Bölen birinci dereceden olduğundan , bölümün derecesi bölünenden bir derece küçüktür.)

Örnek

P(x) = x4 + ax2 + bx + c polinomunun
(x – 1)3 ile tam bölünebilmesi için c kaç olmalıdır?
Çözüm


a + 6 = 0 => a = -6
2a + b + 4 = 0 => - 12 + b + 4 = 0 => b = 8
a + b + c + 1 = 0 => - 6 + 8 + c + 1 = 0
=> c = - 3





BİR POLİNOMUN (ax + b) İLE BÖLÜMÜNDEKİ KALANI , BÖLME YAPMADAN BULMAK


P(x) = (ax + b) B(x) + K eşitliğinde ,
Ax + b = 0 => x = - yazılırsa ,
P(- ) = K olur.
Örnek

P(x) = x4 + 3x2 + ax + 2 polinomu x – 1
İle tam bölünebildiğine göre x – 2 ile bölümündeki kalan kaçtır?
Çözüm

P(x) polinomu (x – 1) ile bölünebildiğine göre
P(1) = 0 dır.
P(1) = 1 + 3 + a + 2 = 0
a = - 6
P(x) = x4 + 3x2 – 6x + 2
P(2) = 16 + 12 – 12 + 2 = 18

Örnek

P(x) = 3x2 + 5x + m polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 8 ise m kaçtır?
Çözüm

x + 1 = 0 => x = -1
P(-1) = 8 dir.
P(-1) = 3 – 5 + m = 8
m = 10
Örnek

P(x) ve Q(x) polinomlarının x + 2 ile bölümünden kalanlar sırayla 3 ve –2 olduğuna göre a’ nın hangi değeri için xP(x) + aQ(x) polinomu x + 2 ile tam olarak bölünür?
Çözüm

P(-2) = 3 ve Q(-2) = -2
XP(x) + aQ(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalanı bulmak için x = -2 yazılır ve sıfıra eşitlenir.
-2P(-2) + aQ(-2) = 0
ð -2 . 3 + a . (-2) = 0
ð -6 – 2a = 0
ð a = - 3 bulunur.

Örnek

= x2 + x + 5 bağıntısı veriliyor. Q(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 4 olduğuna P(7) nin değeri nedir?
Çözüm

Q(x) polinomu (x – 2) ile bölündüğünde kalan 4 olduğuna göre Q(2) = 4 tür.
= x2 + x + 5 eşitliğinde x yerine 2 yazılırsa ,
= 4 + 2 + 5 => = 11
=> P(7) = 44 olur.



BİR POLİNOMUN (xn + a) İLE BÖLÜMÜNDEKİ KALANIN BULUNMASI

P(x) polinomunda xn yerine –a yazılarak , bu polinomun (xn + a) ile bölümündeki kalan bulunur.

Örnek

P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1 polinomunun x2 + 1 ile bölümündeki kalan nedir?
Çözüm

x2 = -1 yazılır
P(x) = x2 . x + 3x2 + 2x + 1
K(x) = - x – 3 + 2x + 1
K(x) = x – 2

Örnek

P(x) = x35 + 3x21 + x14 + 5
Polinomunun x7 + ile bölümünden elde edilen kalan nedir?
Çözüm

x7 + = 0 => x7 = - yazılır.
P(x) = (x7)5 + 3(x7)3 + (x7)2 + 5
Kalan = (-)5 + 3(-)3 + (-)2 + 5
= - - 3 + 8 + 2 +5
= - 4- 6 + 7
= 7 - 10 olur.
Örnek

P(x) = x3 + 3x2 + ax + b polinomunun x2 – x + 1 ile bölümünden kalanın 7x – 5 olması için a + b toplamı kaç olmalıdır?
Çözüm

x2 – x + 1 = 0 => x2 = x – 1 yazılır.
Ve elde edilecek kalan 7x – 5 e eşitlenir.
P(x) = x3 + 3x2 + ax + b
K(x) = x . x2 + 3(x – 1) + ax + b
K(x) = x(x – 1) + 3x – 3 + ax + b
K(x) = x2 – x + 3x – 3 + ax + b
K(x) = ax + 3x + b – 4
K(x) = (a + 3)x + b – 4
(a + 3)x + b – 4 = 7x – 5
a + 3 = 7 => a = 4
b – 4 = -5 => b = -1
a + b = 4 – 1 = 3 olur.



NOT

P(x) polinomunun (ax + b)3 ile tam bölünebilmesi için P’(x) ve P”(x) türev polinomlarının da (ax + b) ile tam bölünmesi gerekir.
P(x) = (ax + b)3 . B(x)
P’(x) = 3a (ax + b)2 B(x) + (ax + b)3 B’(x)
P’(- ) = 0 olur.
Aynı şekilde P”(x) (ikinci türev) polinomununda (ax + b) ile tam bölündüğü gösterilir.
Örnek

P(x) = x4 + ax2 + bx + c polinomunun (x + 1)3 ile bölünebilmesi için c kaç olmalıdır?
Çözüm

P(x) = x4 + ax2 + bx + c
P’(x) = 4x3 + 2ax + b
P”(x) = 12x2 + 2a
P”(-1) = 12 + 2a = 0 => a = - 6
P’(-1) = - 4 – 2a + b = 0 => - 4 + 12 + b = 0 => b = - 8
P(-1) = 1 + a – b + c = 0 => 1 – 6 + 8 + c = 0
c = - 3 olur .