Parabol

[Aylin's]

A. TANIM


a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.

Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.




B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

1) f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası

T(r, k) olmak üzere,



Ü Parabol doğrusuna göre simetriktir.



doğrusu parabolün simetri eksenidir.



y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır.

C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR

Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.

ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.



Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde

D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser.
D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.
D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir.


D. x2 NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ

1) a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

2) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır.

.a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

3) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür.

|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x2 nin katsayısı g deki x2 nin katsayısından büyüktür

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.

2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.

E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa




y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) ... (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa




y = f(x) = a(x – r)2 + k ... (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa




y1 = ax12 + bx1 + c ... (1)

y2 = ax22 + bx2 + c ... (2)

y3 = ax32 + bx3 + c ... (3)

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.

F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU

y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.

f(x) = g(x)

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + (b – m)x + c – n = 0 ... (*)

(*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.

Buna göre, (*) denkleminde;

D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.
D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.
D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.
Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y = dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.