Karmaşık Sayılar

[Aylin's]

KARMAŞIK SAYILAR


A ve B birer gerçel sayı ve i = √-1 ( i² = -1 ) olmak üzere Z = a + bi ile tanımlı Z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi, C ile gösterilir.

C = { Z : Z = a + bi, a,b Є R ve i = √-1 } dir.
Z = a + bi karmaşık sayısında, a’ya Z’nin gerçel (reel) kısmı, b’ye Znin sanal (imajiner) kısmı denir ve
Re (Z) = a, ım (Z) = b olarak yazılır.



İ SAYISININ KUVVETLERİ


i˚ = 1 (i )ⁿ = (1) ⁿ = 1 dir. Buradan
i¹ = i i ⁿ ¹ = i ⁿ.i = 1.i = i
i² = -1 n Є N olmak üzere i ⁿ ² = i ⁿ.i² =1. (-1) = -1
i³ = i².i = (-1).i = -i i ⁿ ³ = i ⁿ.1³ =1. (-i) = -i
i = (i²)² = (-1) ² =1



KARMAŞIK SAYILARIN KUVVETLERİ


Zı = a + bi ve Z2 = c + di karmaşık sayıları için,
Zı = Z2 => Re (Zı) = (Z2) ve im (Zı) = im (Z2)
=> a = c ve b = d dir.

ÖRNEK: Zı = 2X + 1 + 3i ve Z2 = y + (x-2)i karmaşık sayıları veriliyor.
Zı = Z2 ise x-y kaçtır?

ÇÖZÜM: 2X + 1 + 3i = y + (x-2)i => 2x + 1 = y ve 3 = x-2
=> x = i ve y = 11
=> x.y = 55 bulunur.





KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ


Z = a + bi karmaşık sayısı içi Z = a – bi sayısına Z’nin eşleniği denir.

ÖRNEK: Zı = 5 - 2i => Zı = 5 + 2i

ÖZELLİKLER
Her Zı, Z2 Є C için

1) Zı + Z2 = Zı + Z2

2) Zı . Z2 = Zı . Z2

3) ( Zı ) = Zı , Z2 ≠ O
Z2 Z2

4) ( Z ) = Z

5) ( Zⁿ ) = ( Z ) ⁿ dir.



KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM


Zı = a + bi ve Z2 = c + di karmaşık sayıları verilmiş olsun,

1) Toplama: Zı + Z2 = (a + bi) + (c + di)
= (a + c ) + (b + d)i

ÖRNEK: Zı + Z2 = (5 + 2i) + (-6 + 4i) = -1 + 6i


2) Çıkarma: Zı - Z2 = Zı + (-Z2)
= (a + bi) + (-c –di)
= (a – c) + (b – d)i

ÖRNEK: (√5 - √3i) (√5 + √3i) = 5+3 = 8



3) Çarpma: Zı . Z2 = (a + bi) (c + di)
= ac + adi + bci + bdi²
= ac – bd + adi + bci
= (ac – bd) + (ad + bc)i
Zı . Zı = (a + bi) (a-bi)
Zı . Zı = a² - b² i²

Zı . Zı = a² + b²

ÖRNEK: (1 – 2i)² = 1 - 4i + 4i²
= 1 - 4i - 4
= -3 - 4i
4) Bölme: Bölme işleminde paydanın eşleniği ile pay ve payda çarpılır.
Zı




KARMAŞIK DÜZLEM


Z = a + bi karmaşık sayısı için, Re (Z) = a sayısını x ekseninde, İm (Z) = b sayısını y ekseninde alarak oluşan (a,b) noktası karmaşık sayısını gösterir.







Böylece karmaşık sayılarla bire-bir eşlenmiş düzleme karmaşık düzlem denir.



KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ





Z = a + bi karmaşık sayısının O başlangıç noktasına olan uzaklığına, karmaşık sayının mutlak değeri (büyüklüğü yada modülü) denir ve IZI ile gösterilir.

r = IZI = √a² + b²

ÖRNEK: IZıI = √6² + (-8)² = √36 + 64 = 10


İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ FARK




İki karmaşık sayı arasındaki uzaklık, bu sayıların görüntüleri olan noktalar arsındaki uzaklığa eşittir.
Zı = aı + bı i ve Z2 = a2 + b2 i
sayılar arasındaki uzaklık,
IZı - Z2I = IMı M2I = √(aı - a2) ² + (bı - b2)2


NOT:
1) IZ – Z0I gösterimi Z sayısının Z0 sayısına olan uzaklığını beltir.
2) IZ – Z0I = r koşuluna uyan Z karmaşık sayıların kümesi, Z0 sayısına uzaklığı r olan noktaların kümesidir. Bu ise Z0 merkezli r yarı çaplı merezdir.
3) IZ – Z0I < r koşuluna uygun Z karmaşık sayıların kümesi Z0 merkezli r yarı çaplı çemberin içidir.
4) IZ – Z0I > r koşuluna uyan Z karmaşık sayılarının kümesi Z0 merkezli r yarı çaplı çemberin dışıdır.

ÖRNEK:
2 ı ˚ ˉ ² ³ ¹ º ⁿ √ Є