Ortogonal Polİnomlar

[Aylin's]

ORTOGONAL POLİNOMLAR

1-) Ortogonal Polinomların Genel Teorisi:

Ortogonal polinom ailesi ile, bir üçgen polinom ailesi kastedilir. Ortogonal bir sistem, bir ağırlık fonksiyonuyla birlikte verilir. Ortogonal polinomları kullanmak kolaydır, çünkü iyi yakınsama özellikleri ve bir fonksiyonun ağırlık dağılımını kesin bir ağ üzerinde, iyi bir şekilde temsil ederler. Ortogonal polinom teorisi, birçok problemin numerik metodun arka planında ortaya çıkar. (Örneğin, numerik integrasyon, cebrik özdeğer problemi vb.)

Teorem 1.1. Her ağırlık dağılımı için, birleştirilmiş ortogonal sistemde Ψ0, Ψ1, Ψ2,.......... vardır. Bu polinomların üçgen ailesidir.Bu ailede teklik gerçeğinden başka, A0, A1, A2,...... katsayıları sıfırdan farklı keyfi değerler verilir. Bir ağ üzerindeki m+1 noktası ile ağırlık dağılımı için, aile Ψm(x) ile biter. (Ψm+1(x) herbir ağ noktasında sıfır olur.) Süreklilik durumunda ailede sonsuz sayıda eleman vardır.

için ortogonal polinomlar üç terimde recursion formülünü sağlar.


(1.1)

Not: Eğer ağırlık dağılımı simetrikse; bütün n değerleri için x = β, sonra βn = β’dir.

Kanıt: Ψj’nin, için kurulduğunu varsayalım.n+1 dereceli polinomu arıyoruz.

(a) katsayıları
ortogonaldir.

Çünkü bir üçgen ailesidir, her n. derece polinom, polinomların lineer kombinasyonu olarak ifade edilir. Her polinom (a) durumunu yerine getirirse, aşağıdaki durumda yazılır.

(1.2)
durumu yerine getirilirse; sadece


Fakat için .Bu yüzden;

(1.3)

Bu katsayıları tekil olarak tanımlanır. sonucuna ulaşılır. Fakat j+1 dereceli bir polinomdor. Bu yüzden eğer , Ψn ortogonaldir.Bu nedenle j<n-1 için ’dır.(1.2) eşitliğinden;


Bu da teoremin orijinal savıyla aynı formdadır. (Eğer (1.3) eşitliğinden kullanırsak)

(1.4)


(n=0 için, ’e ihtiyaç yoktur, çünkü ’dır.

’in ifadesi başka bir yolla yazılabilir. Eğer eşitlik (1.2) Ψn+1 ile skalar çarpılırsa;


Buradan,


Eğer bütün indisleri 1 azaltırsak;


Bunu ifadesinde yerine koyarsak; buradan

(1.5)

Kanıt, ’in tek yapı olduğuna götürür. Ayrık durumda, ağı ile, bu sadece olana kadar tutulur. n=m için yapılan polinom;


’e eşit olmalıdır.


Çünkü bu polinom, bütün ağ noktalarında sıfırdır ve bundan bütün fonksiyonlara ortogonaldir. durumu belli ki (a)’daki durumunu da yerine getirmektedir. Bundan sonucu çıkar. ’in hesaplanması, n = m+1 için yerine gelmez. n=m’de bu tek yapı durur. Bu doğaldır, çünkü m+1 noktaları ile ağ üzerindeki m+1 ortogonal fonksiyonlarından fazla değildir. Teorem böylece kanıtlanmış olur.

Katsayıların hesabında, formun genişletilmesinden;

(1.6)

Ortogonal katsayı formulünde, kullanılır. Bu recursion formülünün kullanımıyla yapılır. (Eşitlik 1.1) Ayrık durumda, vektör tablosunda, (Ψj), j=0,1,2,...,n tekrarıyla hesaplanır.

Fonksiyonun değerlerini hesaplamanın en kolay yolu, Clenshaw’ın Recursion formulünü kullanmak, bir ortogonal dağılımda tanımlamaktır. Bu formül notasyonunu kullanarak, (eşitlik 1.1)



k = n,n-1,......,1,0 için hesaplanan;

(1.7)

olur.

Ortogonal polinomların yerine, genişletilmiş fonksiyonla, sürekli durumlarda, iyi yakınsaklık özelliği gösterirler. , için n. derece polinomu göstersin.


cj, f’nin j. Fourier katsayısıdır. Eğer biz ağırlıklı normunu kullanırsak; , ’den daha iyi bir yaklaşım sağlamaz. Gerçekten;


(1.8)

Bu ’in bir çeşit ağırlığını göstermektedir ki; ’den küçük veya eşittir. Bu iyi bir sonuçtur. Hata eğrisi titreşen bir davranıştadır. (Şekil 1) Küçük aralıklarda işaret olarak ’den büyüktür. Bu genellikle aralığın sonuna yakın olur veya alt aralıklarda ’in nispeten küçük olduğu yerlerdedir.


Eşitlik (1.8)’den ve Weierstrasss yaklaşım teoreminden;


sonucuna her sürekli fonksiyonu için ulaşılır. Bazı hesaplamalardan sonra;


Yukardaki formül, ortogonal yayılım düşüşünün , terimlerde ne kadar hızlı olduğu hakkında bir fikir verir.

Ayrık durumda, matematik düşüncede yakınsaklık problemi yoktur. Ortogonal yayılım sadece m+1 terimde ve onların toplamı polinoma eşit oldugunda ama bu polinom interpolasyon polinomu ve ağ üzerindeki f(x) ile mevcuttur. m geniş olduğu zaman, şu greçeği kullanırız; ’in hızlı olarak düştüğü tahmin edilerek, hatta n’in küçük değerlerinde f için iyi bir temsil sağlar. Bazı ağlarda, n ’den küçük seçilir. Bu nedenle yaklaşım polinomu, ağ noktaları arasında çok geniş titreşimli davranış göstermez.

Teorem 1.2.: Ortogonal polinomların n. derece polinom ailesi, [a,b] aralığında, w ağırlık fonksiyonlarıyla birleştirtilen n’in basit sıfır değerleridir. Bunların hepsi [a,b] iç aralığında dağılır.

Kanıt: Dolaylı Kanıt: varsayalım; iç aralığında k’nın işareti değişsin. ’da . Sonra;

(veya , eğer k=0’sa)

aralıkta sabit işaretlidir. Fakat, bu durum


bütün polinomların p derecesi n’den küçük olduğunda gerçekleşmez. Bundan teoremin sonucuna ulaşılır.

Eğer ağırlık fonksiyonu dağılımı var ve bu daha önceki recursion formülündeki katsayıları bilinmiyorsa; bunu teorem 1.1.’deki kanıtın adımlarına benzeterek hesaplayabiliriz. Bu katsayılarının, (Ψj) vektör tablosunda, tekrarlı hesabıdır. Ve ortogonal katsayı verilen f fonksiyonu için, bütün için işleminin (bir “işlem” = bir çarpım veya bölümün birlikte toplanmasıdır) toplamı ile tahmin edilen ağ simetrik ve polinomların baş katsayıları 1’e eşit olarak düzenlenir. Eğer farklı ağırlıklar varsa; toplama işlemine ihityaç olur; benzer olarak, eğer ağ simetrik değilse; toplama işlemi sağlanır.

Eğer ortogonal katsayılar, aynı ağ üzerinde, birçok fonksiyon için aynı zamanda tanımlanırsa; sadece toplama işlemi hakkında fonksiyonlar vasıtasıyla sağlanır. (Yukarıda, biz olduğunu varsaydık.)

Yukarıdaki problemin çözüm yöntemi, klasik metoddaki normal eşitliklerin kullanılmasına göre sadece çok ekonomik değildir. ( bu yaklaşık işlem gerektirir.) Bu hasta karakterli sistemlerin eşitliklerinindeki zorlukları önlemek için çok önemli bir avantajdır.


2-) Chebyshev ve Legendre Polinomları:

Bu polinomlarda her m dağılımı için arasında varsayalım.

a-) Birinci Derece Chebyshev Polinomları:

parametresini kullanarak, aşağıdaki formuldeki fonksiyonunu tanımlayalım.

, (2.1)

ilişkisi ve içermektedir.

(2.2)


Bu pozitif ana katsayılarıyla n. derece bir polinom olduğunu gösterir. Formülün içine Fourier serisini koyarsak;


değişimini yaparak yeni değişkeninin içine koyarsak;



basit bir hesaplamayla; elde edilir.


Bu şunu gösterir;

, ,……..,

ortogonal polinom sisteminin ağırlık fonksiyonlarıdır.


Buradan şu önemli tahmin çıkar.

ve (2.3)



b-) İkinci Derece Chebyshev Polinomları:

, koyup , (2.4)

Bunun sebebi;


zinciri bu tekrarlı ilişkiyi sağlar.

, (2.5)

Bu ilişkiden ’in n. derece bir polinom olduğu çıkar.
Bu formülden;


değişken dönüşümünü yaparak aşağıdaki formülü elde ederiz.


Bu şunu gösterir;


Ortogonal fonksiyonlar ağırlık fonksiyonlarıyla vardır.


(2.4)’den

sonucuna varılır. (2.6)


c-) Legendre Polinomları:

Bu polinomlar için verilen olası tanım Rodrigues formülüdür.


Tanımlanan eşitliklerden; , pozitif ana katsayılarıyla n. derece polinom olduğu sonucuna varılır. İki tarafı n kez integre edersek; aşağıdakileri elde ederiz:

ve


İlk formulden şu ortaya çıkar;


’yı yerine koyarsak;


ek olarak

ve



Bu sebepten ortogonal fonksiyona ait olan ağırlık fonksiyonu;



(2.7)

Bizim amacımız uygun ’i tahmin etmektir.


3-) Jacobi Polinomları:

Bunların tanımı basitçe Rodrigues formülüyle verilebilir.


varsayarız.

Leibnitz kuralının sonuç diferansiyeli yardımı ile bu ifadeyi hesaplarsak; ’i ana katsayılarıyla, n. derece polinom elde ederiz. Parçaları n kere integre edersek;

için

ve



elde ederiz.

Bu nedenle;



Buradan;

Ağırlık fonksiyonu;



4-) Tchebycheff Polinomları:

Tchebycheff polinomları, belkide ortogonal polinom ailesi içinde en önemlilerinden biridir. Bunların özellikleri; basit metodlarla türevinin alınabilmesidir. Kolayca düzenlenmiş aşağıdaki formülü düşünürsek;

(4.1)

Bu formülde; ’yi ’ye bağlı bir polinom olarak ifade edebiliriz. Örneğin;






…….

Eğer olarak düzenleyip, buradan olur. Sonra bir üçgen polinomu elde ederiz. Tchebycheff polinomları; aşağıdaki formülle tanımlanır.

(4.2)

Buradan, daha önceki için olan formülden;


elde ederiz.

Tchebycheff polinomunun faydalı özellikleri vardır.

1. Recursion Formülü:

,
(4.3)

Bu direkt olarak 4.1 eşitliğinin sonucuna ulaşır.

2. Baş Katsayı:




3. Simetri Özelliği:



2. ve 3. özellik recursion formülü yardımıyla elde edilir.



4. , aralığında sıfır değerlerine sahiptir.

ve n+1 ekstremumu

Bu sonuçlardan;

, , (4.5)

Bu sonuçlardan; için sonucuna ulaşılır. ’nin maksimum değeri değeri için olur.

5. Ortogonallik Özelliği, Süreklilik durumu

düzenleyip, sonra;

(4.6)

Kanıt: alıp;



6. Ortogonallik özelliği, Ayrık durumda

düzenlenip (4.7)

’in sıfır değerleri; ’da iken; ,



7. Minimax Özelliği:

Bütün n. derece polinomların baş katsayısı 1, , aralığındaki en küçük maksimum norm değeridir. Maksimum normun değeri ’dir.

Kanıt: Dolaylı Kanıt: Bir polinomu varsayalım, baş katsayısı 1 olan, aralığındaki bütün x değerleri için olsun. , ’nin değerleri için extremi olsun.



vb. ’ne kadar

Buradan, polinomuna ulaşılır. Her bir n aralığında işaret değiştirir. Bu imkansızdır. Bu yüzden polinomun derecesi n-1’dir. ( ve aynı baş katsayısına sahiptir. Bu nedenle minimax özelliği kanıtlanmış olur.

Tchebycheff polinomlarının önemli bir amacı, çalışma aralığının arasında olmasıdır. gibi aralığa sahip değerlerde, bir t parametresi ile değişken dönüşümü yapılır.

, (4.8)

5-) Önemli Ortogonal Polinomlar:

Yukarıda anlatılanlardan başka diğer önemli polinomlar:

Ultraspherical Polinomlar:



Genelleştirilmiş Laguerre Polinomu:


Hermite Polinomları:


KAYNAKLAR: 1-) ORTOGONAL POLYNOMIALS Géza FREUD
2-) NUMERICAL METHODS Germund DAHLQUIST,
Ǻke BJÖRK-Ned ANDERSON
3-) HANDBOOK OF MATHMETICAL FUNCTIONS
Milton ABRAMOWITZ
Irene A. STEGUN